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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第一章函数、极限与连续 -> 1.5 无穷小与无穷大 -> 内容要点 -> 无穷小的运算性质

无穷小的运算性质

定理1 在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证设及是当时的两个无穷小，则，，，使得
当时，恒有；当时，恒有；
取，则当时，恒有

，

注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

例如，时，是无穷小，但个之和为1，不是无穷小.

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证设函数在内有界，则，，使得当时，恒有

又设是当时的无穷小，则，，使得当时，恒有

取，则当时，恒有

，

当时，为无穷小.

推论1 同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

例如，当时，变量，都是无穷小.

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