大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 复习总结与总习题解答 -> 知识点总结 -> 高斯公式
高斯公式
一.高斯公式
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有
（高斯公式）
这里是的整个边界曲面的外侧.
二.沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
设是空间二维单连通区域，，，在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分
.
在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线（或沿内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是：
（在内恒成立）.
三.通量与散度
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有
（高斯公式）
这里是的整个边界曲面的外侧.
二.沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
设是空间二维单连通区域，，，在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分
.
在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线（或沿内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是：
（在内恒成立）.
三.通量与散度
设有向量场
，
其中函数，，有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面上点处的单位法向量，则沿曲面的第二类曲面积分
，
称为向量场通过曲面流向指定侧的通量. 而
称为向量场的散度，记为，即
.
，
其中函数，，有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面上点处的单位法向量，则沿曲面的第二类曲面积分
，
称为向量场通过曲面流向指定侧的通量. 而
称为向量场的散度，记为，即
.
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