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高等数学(理工类)

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格林公式

一.格林公式
   设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有
其中是的取正向的边界曲线.
二.利用格林公式计算平面图形的面积
   格林公式
                        .
取，，得
                        .
闭区域的面积
                          .
取，.
取，.
三. 曲线积分的几个等价问题
   设开区域是一个单连通区域，函数，在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价： (1)曲线积分在内与路径无关；
(2)为某二元函数的全微分；
(3)在内恒成立；
(4)对内任意闭曲线，.
四.二元函数的全微分求积
   若，在内满足定理的条件，则

满足
称为表达式的原函数. 此时，因（1）式右端的曲线积分与路径无关，于是分别选取如图路径或，即得

或
五.全微分方程及其解法
   如果方程
                              （1）
的左端恰好是某个函数的全微分：
                     ，
则称方程（1）为全微分方程.

此方程通解为

或

其中是内任意一点.

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