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高等数学(理工类)

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二重积分的概念

一.二重积分的概念
   是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点，作乘积并作和，如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记为，即
                     .
二.二重积分的性质
性质1 .
性质2 如果闭区域可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域和，则               .
性质3 如果在闭区域上，，为的面积，则
                         .
性质4 如果在闭区域上，有，则
                      .
特别地，有                 .
性质5 设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则
                             .

这个不等式称为二重积分的估值不等式.
三.二重积分的中值定理
设函数在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点，使得

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