一.曲边梯形的面积  
   分割，令，，，，，.
   计算小曲边梯形面积.
   曲边梯形面积
            
                               
                            .
二.变速直线运动的路程
   考察变速直线运动：设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程.
   (1)分割：
        令：，，，，
       各小时间段内物体走过的路程依次为：
            ；
   (2)求和：；
   (3)取极限：， .
三.变力所做的功
   对常力作功有：若力与位移同向，则
         功=外力位移. 
   考察变力所作功：设某物体在变力的方向与位移方向相同，力的大小随而变化，且可表为的连续函数.
   (1)分割：
     令：，，，，
     力使物体从移动到所作的功为；
   (2)求和：力在所作功；
   (3)取极限：，.
四.定积分的定义
   设在,中任意插入若干个分点
                   
把区间,分割成个小区间，各小区间的长度依次为
                    ，
在各小区间上任取一点，作乘积，并求和
                             ，
记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为
定义                          

其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分区间，与分别叫做积分上限与积分下限.
五.定积分几何意义
   当，表示由曲线、两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积.
   当，几何上表示上述曲边梯形面积的负值.
   一般情况下，是介于轴、曲线及两条直线，之间的各部分面积的代数和.
六.定积分的近似计算
   若函数的区间上连续，则定积分存在.如同上例，将区间分成个长度相等的小区间：
                  
每个小区的长度为，取，则
                   
根据在小区间上的取法不同得到下列常用近似计算方法：
矩形法  左矩形公式：
        右矩形公式：
梯形法   梯形法公式：