一、连续函数的算术运算

   若函数，在点处连续，则

                ，，.

在点处也连续.

二、反函数的连续性  

   若函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续，则它的反函数也在对应的区间

上单调增加(或单调减少)且连续.

三、复合函数的连续性

   ⑴ 若，函数在点处连续，则有

               .

意义  1.极限符号可以与连续函数符号互换；
      2.给出了变量代换的理论依据.
  ⑵ 设函数在点处连续，且，而函数在点处连续，则复合函数在点处也连续.

四、初等函数的连续性

  ⑴  基本初等函数在定义域内是连续的.

  ⑵  一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

注意  ① 初等函数仅在其定义区间内连续，但在其定义域内不一定连续.

      ② 初等函数求极限的方法(代入法)

                 (定义区间).

五、幂指数函数

    形如的函数称为幂指函数. 因为

               ，

故幂指函数可化为复合函数.

    易见：若，，则

                .

即 .（注意公式成立的条件）

六、闭区间上连续函数的性质

 ⑴ 最大值和最小值定理

   Ⅰ最大最小值定义： 对于在区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有
               ，
则称是函数在区间上的最大(小)值.
  Ⅱ最大值和最小值定理：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.

 ⑵ 有界性定理：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.

 ⑶ 零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号(即)，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使. 即方程在内至少存在一个实根.

 ⑷ 介值性定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
                及.
那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得
               .

七、一致连续的概念

    ⑴一致连续的定义：设函数在区间上有定义，若，，使得对于区间上的任意两点，，当时，就有

                 .

则称函数在区间上是一致连续的.

   ⑵一致连续性定理：如果函数在闭区间上连续，则它在该区间上一致连续.