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高等数学(理工类)

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数列极限的定义与性质

一、数列极限的定义

⑴直观定义

设有数列与常数，如果当无限增大时，无限接近于，则称常数为数列的极限，或称数列收敛于，记为
，或.
如果一个数列没有极限，就称该数列是发散的.

⑵定义

设有数列与常数，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数是数列的极限，或称数列收敛于，记为
，或.

二、数列极限的性质

⑴极限的唯一性: 收敛数列的极限是唯一的.

⑵收敛数列的有界性: 收敛数列必有界，反之不然.

⑶收敛数列的保号性: 若，且(或)，则存在正整数，当时，都有(或).

⑷子数列的收敛性: 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是.

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