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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第七章微分方程 -> 7.10 数学建模——微分方程的应用举例 -> 内容要点 -> 弹簧振动问题

弹簧振动问题

设有一个弹簧，它的上端固定，下端系有质量为的物体，物体受力作用沿轴运动，其平衡位置取为坐标原点，如果使物体具有一个初始速度，物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动，试确定物体的振动规律.

解由胡克定律，弹簧的弹性恢复力与弹簧变形成正比
                              ，
其中为弹性系数，在不考虑介质阻力的情况下，由牛顿第二定律可得
                  .(无阻尼自由振动微分方程)
如果物体在运动过程中还受到阻尼介质(空气、水等)的阻力的作用，则阻力与质点的运动速度成正比
                             ，
其中为阻尼系数，从而
              ；(有阻尼自由振动微分方程)
如果物体在运动过程中，还受周期性干扰力作用，则物体的运动方程为
              .(强迫振动微分方程)
常采用记号
                      ，，.
则有
         .(无阻尼自由振动微分方程)
  ；(有阻尼自由振动微分方程）；(强迫振动微分方程)

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