镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻的质量.

解  用表示该放射性物质在时刻的质量，则表示在时刻的衰变速度，依题意得
                             .                (1)
它就是放射性元素衰变的数学模型，其中是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间增加时，质量减少.
易求出方程(1)的通解为. 若已知当时，，代入通解中可得，则可得到特解
                             ，
它反映了某种放射性元素衰变的规律.

注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素的半衰期约为50亿年；通常的镭的半衰期为1600年，而镭的另一同位素的半衰期仅为1小时. 半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，一克衰变成半克所需要的时间与一吨衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳测验的基础.
特殊地，当时，得到了放射性元素的衰变规律
                             ，
这正是从理论上解释了§1.1中涉及的放射性物质的衰变规律.