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高等数学(理工类)

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罗尔定理的条件分析

罗尔定理的假设并不要求在和处可导，满足在和处的连续性就足够了.

例如，函数在上满足罗尔定理的假设（和结论），即使在和处不可导.若取，则有（见下图）

注：一般情形下，定理结论中导函数的零点是不易找到的.罗尔定理的三个条件缺一不可，下面分别举例说明之.

易见函数在闭区间的左端点处间断，不满足闭区间连续的条件，尽管在开区间内存在，且，但显然没有水平切线. 如图(a)所示.

图(a)

函数在处是不可导的，因此不满足在开区间可导的条件，虽然在内是连续的，且有，但是没有水平切线. 如图(b)所示.

图(b)

函数虽然满足在闭区间上连续，在开区间内可导的条件，但，显然也没有水平切线. 如图(c)所示.

图(c)

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知识点提示

1、罗尔(Rolle)定理

若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即，则在内至少有一点，使 .

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