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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第三章中值定理与导数的应用 -> 3.1 中值定理 -> 内容要点 -> *费马引理

*费马引理

本节所要讲的中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而又称为微分中值定理.介绍中值定理之前，首先引入费马引理.

费马引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有

（或（）

则 .

证明不妨设时，.

则对，有，

从而当时，；

当时，.

由极限的保号性，及函数在处可导

； .

所以，.证毕.

费马引理是说，如果一个函数在一点处取得在该点的某个邻域范围内的最值（最大值或最小值），若该函数在该点处可导，则该函数在该点处的导数必为零，即若函数的图像在此点所对应的图像上的点处的切线存在且不垂直于轴，则此切线必平行于轴.

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知识点提示

1、邻域定义

设与是两个实数，且数集，称为点的邻域. 记为

2、左、右导数的定义

左导数；

右导数 .

3、极限的保号性定理

若，且()，则，使得当时，有(或).

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