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高等数学(理工类)

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柯西中值定理

柯西(Cauchy)中值定理 如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点处均不为零，那么在内至少有一点，使得

证明作辅助函数 . 满足罗尔定理的条件，则在内至少存在一点，使得，

即， ∴ . 证毕.

其几何意义为：

由图形知： (1)弦的斜率，

(2)在曲线弧上至少有一点，在该点处的切线平行于弦.

注：（1）罗尔定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础，拉格朗日中值定理的应用最广；

（2）三个定理的条件都是充分的，不是充分必要的；

（3）柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理.

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知识点提示

1、罗尔(Rolle)定理

若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点的函数值相等，即，则在内至少有一点，使 .

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