大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章 无穷级数 -> 12.8 傅里叶级数 -> 内容要点 -> 狄利克雷收敛定理
狄利克雷收敛定理
本段我们要考虑另一个基本问题：函数在怎样的条件下，它的傅里叶级数收敛到函数？即函数满足什么条件就可以展开成傅里叶级数？
这个问题自十八世纪中叶提出以来，当时欧洲的许多数学家都曾致力于它的解决，直到1829年，狄利克雷才首次给出了这个问题的一个严格的数学证明. 对这一问题的研究，极大地促进了数学分析的发展. 这里我们不加证明叙述狄利克雷关于傅里叶级数收敛问题的一个充分条件.
定理1 （收敛定理，狄利克雷充分条件）设是周期为的周期函数. 如果满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，并且
（1）当是的连续点时，级数收敛于；
（2）当是的间断点时，收敛于.
狄利克雷收敛定理告诉我们：只要函数在区间上至多只有有限个的第一类间断点，并且不作无限次振动，则函数的傅里叶级数的函数的连续点处收敛于到该点的函数值，在函数的间断点处收敛于该点处的函数的左极限与右极限的算术平均值. 由此可见，函数展开成傅里叶级数的条件要比函数展开成幂级数的条件低很多.
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