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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第九章多元函数微分学 -> 9.8 多元函数的极值 -> 内容要点 -> 极值的充分条件

极值的充分条件

根据定理1，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点. 但是函数的驻点不一定是极值点. 例如，点是函数的驻点，但函数在该点并无极值.

如何判定一个驻点是否是极值点？下面的定理部分地回答了这个问题.

定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又

， .

令

，， .

(1) 当时，函数在处有极值，且当时有极小值；当时有极大值；

(2) 当时，函数在处没有极值；

(3) 当时，函数在处可能有极值，也可能没有极值.

这个定理的证明参见本章第九节.

注：在定理2中，如果，则不能确定是否是极值，需另作讨论.

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