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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第九章多元函数微分学 -> 9.8 多元函数的极值 -> 内容要点 -> 二元函数极值的概念

二元函数极值的概念

定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于的任意一点，如果，则称函数在有极大值；如果，则称函数在有极小值；极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.

例1 函数在点处有极小值. 从几何上看，表示一开口向上的椭圆形抛物面，点是它的顶点，(如图).

例2 函数在点处有极大值. 从几何上看，表示一开口向下的半圆锥面，点是它的顶点，(如图).

例3 函数在点处无极值. 从几何上看，它表示双曲抛物面(马鞍面)，(如图).

二元函数在几何上表示一张曲面，故二元函数的最大值与最小值就是曲面上的最高点与最低点.

注：与导数在一元函数极值研究中的作用一样，偏导数也是研究多元函数极值的主要手段.

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