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高等数学(理工类)

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空间曲面的切平面与法线

设曲面方程为，在曲面上任取一条通过的曲线：，，，曲线在处的切向量

由，两边对求导得

令，易见

由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一向量垂直，故曲面上通过的一切曲线在点的切线共面，这个平面称为曲面在点的切平面.

切平面方程为

过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.

法线方程为

垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 于是，曲面在处的法向量，就是曲面在该点处切平面的法向量，即

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