大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 11.6 高斯公式 通量与散度 -> 内容要点 -> 通量与散度
通量与散度
一般地，设有向量场
，
其中函数，，有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，是曲面上点处的单位法向量，则沿曲面的第二类曲面积分
，
称为向量场通过曲面流向指定侧的通量. 而
称为向量场的散度，记为，即
（1）
利用上述概念，高斯公式可写成
（2）
在公式（2）中，如果向量场表示一不可压缩流体的稳定流速场，则公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量. 由于我们假定流体是不可压缩的和稳定的，因此流体在离开的同时，内部必须有产生流体的“源”产生出同样多的流体来进行补充. 所以，公式的左端可解释为单位时间内在内的“源”所产生的流体的总质量. 如果，则表明点是“源”，直观上表示有流体经由点处的一个小洞流入区域（见下图），其值表示源的强度；
如果，则表明点是“汇”，直观上表示有流体经由点处的一个小洞流入区域（再见下图），其值表示汇的强度；如果，则表明点既不是“源”也不是“汇”.
对公式（2）左端的三重积分，由三重积分的中值定理可得
其中为内的一点，是的体积. 于是，高斯公式变成
令收缩于点（此时必有），则有
散度有下列运算性质：
(1) （为常数）；
(2) ；
(3) （为数量函数）.
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