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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章无穷级数 -> 12.5 函数展开成幂级数 -> 内容要点 -> 麦克劳林级数

麦克劳林级数

时泰勒级数

称为在麦克劳林级数.
注：由上节定理3（3）可知，如果函数能在某个区间内展开成幂级数，则它必定要这个区间内在每一点处具有任意阶的导数. 即没有任意阶导数的函数是不可能展开成幂级数的. 函数的麦克劳林级数是的幂级数，可以证明，如果能展开成的幂级数，则这种展开式是唯一的，它一定等于的麦克劳林级数.
由函数的展开式的唯一性可知，如果能展开成的幂级数，则这个幂级数就是的麦克劳林级数. 但是，反过来如果的麦克劳林级数在点的某邻域内收敛，它却不一定收敛于. 例如，函数

在点任意价可导，且

所以的麦克劳林级数为，该级数在内和函数. 显然，除外，的麦氏级数处处不收敛于.
因此，当在处具有各阶导数时，虽然在麦克劳林级数能初做出来，但这个级数是否能在某个区间内收敛，以及是否收敛于却需要进一步考虑.

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