大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十二章 无穷级数 -> 12.5 函数展开成幂级数 -> 内容要点 -> 泰勒级数的概念
泰勒级数的概念
由泰勒公式知，如果函数在点的某邻域内有阶导数，则对于该邻域内的任意一点，有
，
其中，介于与之间.
定理1 设在区间内存在任意的导数，幂级数的收敛区间为内
（1）
成立的充分必要条件是：在该区间内.
证 由泰勒公式知.
令，有.
其中，级数的内收敛，即
，
且当时，，故由极限运算则知
，反之亦然.
（1）式右端的级数称为在点处的泰勒级数.
而
称为由在处生产的阶泰勒多项式.
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