大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 11.5 第二类曲面积分 -> 内容要点 -> 有向曲面的概念
有向曲面的概念
在光滑曲面上任取定一点，并作曲面的法线，该法线有两个可能的方向，选定其中一个方向，如果点在曲面上沿任一路径连续地变动后（不跨越曲面的边界）回到原来的位置时，相应的法向量的方向与原方向相同，就称是一个双侧曲面；如果相应的法向量的方向与原方向相反，就称是一个单侧曲面.
通常我们遇到的曲面都是双侧的，如球面、旋转抛物面、马鞍面等.但是单侧曲面也是存在的，所谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子.
有一长方形纸条，将其一端扭转，再与另一端粘合起来就可得到莫比乌斯带.
“莫比乌斯地铁系统”
今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.对于双侧曲面，我们可通过选定曲面上的一个法向量来规定曲面的侧.反之，我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上各点处的法向量的指向.
例如，对开曲面，有上侧和下侧之分，取它的法向量指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧（图(1))；又如，对于闭曲面，有外侧和内侧之分，如果取定它的法向量指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧（图(2)），这种取定了侧的曲面称为有向曲面.
设是有向曲面.在上取一小块曲面，把投影到面上得一投影区域，记该投影区域的面积为.假定上各点处的法向量与轴的夹角的余弦有相同的符号（即都是正的或都是负的）.我们规定在面上的投影
.
类似地，可以定义在及面上的投影及.
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