对于给定的幂级数，显然，当时，它收敛于，这说明幂级数的收敛域总是非空的. 再考察级数

                       （2）

的收敛性. 这个级数当时收敛于和；当时，它发散. 故该级数的收敛域为.
    这个例子表明，幂级数（2）的收敛域是一个区间. 事实上，这个结论对于一般的幂级数也是成立的.
定理1  （阿贝尔定理）如果级数收敛，则对于满足不等式的一切，级数绝对收敛；反之，如果级数发散，则对于满足不等式的一切，级数发散.

证明:（1）设点是收敛点，即收敛，根据级数收敛的必要条件，有，于是，存在常数，使得.因为，而当时，等比级数收敛，所以根据比较判别法知级数，即级数绝对收敛.

           （2）采用反证法莱证明第二部分.设时发散，而另有一个点存在，它满足，并使得级数收敛，则根据（1）的结论，当时级数也应收敛，这与假设矛盾.从而得证.

根据定理，如果幂级数在数轴上既有收敛点（不仅是原点）也有发散点，则从数轴的原点出发沿正向走去，最初只遇到收敛点，越过一个分界点后，就只遇到发散点，这个分界点可能是收敛点，也可能是发散点. 从原点出发沿负向走去的情形也是如此. 且两个边界点与关于原点对称. 根据上述分析，可得到以下重要结论:

推论1  如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个完全确定的正数，使得

（1）当时，级数绝对收敛；     （2）当时，级数发散；

（3）当与时，幂级数可能收敛也可能发散.

上述推论中的正数称为幂级数的收敛半径.称为幂级数的收敛区间. 若幂级数的收敛域为，则

.

故幂级数的收敛域是收敛区间与收敛端点的并集. 特别地，如果幂级数只在处收敛，则规定收敛半径，收敛域只有一个点；如果幂级数对一切都收敛，则规定收敛半径，此时收敛域为.