正如有限中包含着无穷级数，而无限中呈现极限一样，无
           限之灵魂居于细微之处，而最紧密地趋近极限却并无止境. 区
           分无穷大之中的细节令人喜悦！小中见大，多么伟大的神力.
                                                  ——雅克伯努利
    历史上，无穷级数的求和问题曾困扰数学家长达几个世纪. 有时一个无穷级数的和是一个数，如
                             ，
我们可以从右图看出这一事实. 有时一个无穷级数的和为无穷大，如
                            .

这个事实我们将在§12.1的例7中加以证明. 有时一个无穷级数的和没有确定的结果，如
                               ，
我们无法确定其结果是0还是1，或是其它结果.
    19世纪上半叶，法国数学家柯西建立了严密的无穷级数的理论基础，使得无穷级数成为一个威力强大的数学工具，例如，它使我们能把许多函数表示成无穷多项式，并告诉我们把它截断成有限多项式时带来多少误差. 这些无穷多项式(称为幂级数)不仅提供了可微函数的有效的多项式逼近，而且还有许多其它的实际应用. 它还能使我们将更广泛的具有第一类间断点的函数表示成正弦函数项和余弦函数项的无穷级数，称为傅立叶级数，这种表示形式在科学和工程技术领域中具有非常重要的应用. 从以上角度可见，无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解方程等方面都有着重要的应用. 研究无穷级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论是研究极限的存在性还是计算极限，无穷级数这种形式都显示出了巨大的优越性.