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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第七章微分方程 -> 7.5 二阶线性微分方程解的结构 -> 内容要点 -> 常数变易法

常数变易法

设有二阶非齐次线性方程
                                 (1)
如果其对应的齐次方程的通解为
                           ，
则可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解：
设非齐次方程(1)的特解为
                                              (2)
其中，是两个待定函数，对求导数，得
                  ，
把(2)代入(1)中，可得到确定，的一个方程. 因为这里有两个未知函数，所以还需添加一个条件. 为计算方便，我们补充如下条件：. 这样，
            ，，
代入方程(1)中，经整理得
                       .
与补充条件联立，得方程组
                     .                 (3)
因为，线性无关，故其系数行列式
                      ，
所以上述方程组有唯一解，解得
       ，.
积分并取其一个原函数，得
                 ，，
于是，所求特解为
               .
所求方程(1)的通解
       .

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