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高等数学(理工类)

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解线性微分方程的降阶法

                       ，                 (1)
设是方程(1)的一个已知非零特解，作变量替换
                             ，                             (2)
其中为待定函数，求的一阶和二阶导数，得
         ，，
将它们代入(1)式，得
    ，(3)
再作变量替换，得
                     ，
分离变量得
                  ，
两边积分得
                  (为任意常数).
对积分，得
                 (为任意常数).
代回原变量，就得到方程(1)的通解
                .
这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式.
综上所述，对于二阶齐次线性方程，若已知其一个非零特解，作变量替换，就可将其降为一阶齐次线性方程，从而求得通解. 降阶法同样适用于二阶非齐次线性方程.

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