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高等数学(理工类)

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大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第七章微分方程 -> 7.5 二阶线性微分方程解的结构 -> 内容要点 -> 二阶线性微分方程解的定理3

二阶线性微分方程解的定理3

与本章第三节讨论的一阶线性微分方程的解的结构类似，二阶甚至更高阶的非齐次线性微分方程的通解也有同样的结构.
                          (1)
                             (2)
定理3 设是方程(1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(2)的通解，则
                                            (3)
就是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.
证把式(3)代入方程(1)的左端，得



                ，
即是方程(1)的解. 由于对应齐次方程的通解
                      ，
含有两个相互独立任意常数，，故为(1)的通解.
例如，方程是二阶非齐次线性微分方程，已知其对应的齐次方程的通解为. 又容易验证是该方程的一个特解，所以

是所给方程的通解.

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