二重积分的概念
定义 设是有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成个小闭区域,其中表示第个小闭区域,也表示它的面积,在每个上任取一点,作乘积并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数在闭区域上的二重积分,记为,即
对二重积分定义的说明:
(1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分及对的选取均是任意的;
(2)当在闭区域上连续时,定义中和式的极限必存在,即二重积分必存在.
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时,二重积分在几何上表示曲顶柱体的体积.
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域,则面积微元为,故二重积分可写为
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