大学普通本科 -> 理工类 -> 高等数学 -> 第七章 微分方程 -> 7.5 二阶线性微分方程解的结构 -> 内容要点 -> 二阶线性微分方程解的定理1
二阶线性微分方程解的定理1
(1)
定理1 如果函数与是方程(1)的两个解，则
(2)
也是方程(1)的解，其中，是任意常数.
证 将(2)式代入方程(1)的左端，有
，
所以(2)式是方程(1)的解.
齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.
注：将齐次线性方程(1)的两个解与按(2)式叠加起来虽然仍是该方程的解，并且形式上也含有两个任意常数与，但它却不一定是方程(1)的通解，这是因为定理的条件中并没有保证与这两个函数是相互独立的. 为了解决这个问题，我们要引入一个新的概念——函数的线性相关与线性无关的概念.
定理1 如果函数与是方程(1)的两个解，则
(2)
也是方程(1)的解，其中，是任意常数.
证 将(2)式代入方程(1)的左端，有
，
所以(2)式是方程(1)的解.
齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理.
注：将齐次线性方程(1)的两个解与按(2)式叠加起来虽然仍是该方程的解，并且形式上也含有两个任意常数与，但它却不一定是方程(1)的通解，这是因为定理的条件中并没有保证与这两个函数是相互独立的. 为了解决这个问题，我们要引入一个新的概念——函数的线性相关与线性无关的概念.
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