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曲线凹凸的概念
问题 如何研究曲线的弯曲方向？
的图形是(向上)凹的：
的图形是(向上)凸的：
定义 设在区间内连续，若对上任意两点，，恒有，则称在上的图形是凹的.
若对上任意两点，，恒有，则称在上的图形是凸的.
定理2 设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，若在内
(1) ，则在上的图形是凹的；
，则在上的图形是凸的.
证明 我们就情形给去证明.
设和为内任意两点，且，记，并记，则有拉格朗日中值定理，得
，.
，.
两式相减，得
①
在上对再次应用拉格朗日中值定理，得
.
将上式代入①，得
.
有题设条件知，并注意到，则有
，
亦即，所以在上的图形是凹的,
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