大学普通本科 -> 简明版-经管类 -> 线性代数 -> 第四章 矩阵的特征值 -> 4.4 实对称矩阵的对角化 -> 内容要点 -> 实对称矩阵的性质(2)
实对称矩阵的性质(2)
定理2 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的.
证 设为阶实对称矩阵，分别是的对应于不同特征值的特征向量，于是
实对称， ，
于是
，即与正交. 证毕.
定理3 设为阶实对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应于特征值恰有个线性无关的特征向量(证明略).
定理4 设为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵.
证 设的互不相等的特征值为. 它们的重数分别为
.
根据定理和定理知，对应特征值恰有个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得个单位正交的特征向量，由知，这样的特征向量共可得个. 再由定理知，这个单位特征向量两两正交，并以它们为列向量构成正交矩阵，则
，
而的对角元素含个个，恰是的个特征值.
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