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线性代数(简明版-经管类)

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相似矩阵的性质

定理1 若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同.

证与相似，故可逆矩阵使得，

，

即与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.

如对例1中的矩阵，由

，

易见它们有相同的特征值，

相似矩阵的其它性质：

1.相似矩阵的秩相等；

提示：相似矩阵一定等价，而等价的矩阵具有相同的秩.

2.相似矩阵的行列式相等；

提示：与相似，两边取行列式即得.

3.相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似.

证设阶矩阵与相似，故与具有相同的可逆性；若与相似且都可逆，则非奇异矩阵，使，于是

，

即与相似. 证毕.

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