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定理1
定理1 任意一个矩阵经过有限次初等变换，可以化为下列标准形矩阵
.
证 若所有的都等于，则已经是的形式()；如果至少有一个元素不等于，不妨设(否则总可通过第一种初等变换，使左上角元素不等于)，以乘第一行加至第行上()，以乘所得矩阵的第一列加至第列上()，然后以乘第一行，于是矩阵化为 ，若，则已化为的形式，否则按上述方法继续下去，可证结论.
注：定理1的证明也实质上给出了定理1'的结论.
定理 任一矩阵总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并进而化为行最简形矩阵.
根据定理的证明及初等变换的可逆性，有
推论 如果为阶可逆矩阵，则矩阵经过有限次初等变换可化为单位矩阵，即.
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知识点提示
1、初等变换
矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
(1)交换矩阵的两行
(交换两行，记为)；
(2)以一个非零的数乘矩阵的某一行
(第行乘，记为)；
(3)把矩阵的某一行的倍加到另一行
(第行乘加到行，记为).
类似可定义矩阵的初等列变换(相应记号中把换成).
2、行阶梯形矩阵
一般地，称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵：
(1)零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方；
(2)各非零行的首非零元(从左至右的第一个不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格增大(或说其列标一定不小于行标).
3、行最简形矩阵
一般地，称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵：
(1)各非零行的首非零元都是；
(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.
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