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高等数学(简明版-理工类)

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幂级数的分析运算性质

定理3 设幂级数的收敛半径为，则

（1）幂级数的和函数在其收敛域上连续；

（2）幂级数的和函数在其收敛域上可积，并在上有逐项积分公式

，

且逐项积分得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径；

（3）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，并在内有逐项求导公式

，

且逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.

注：反复应用结论（3）可得：幂级数的和函数在某收敛区间内具有任意阶导数.

上述运算性质称为幂级数的分析运算性质. 它常用于求幂级数的和函数. 此外，几何级数的和函数

是幂级数求和中的一个基本的结果. 我们所讨论的许多级数求和的问题都可以利用幂级数的运算性质转化为几何级数的求和问题来解决.

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