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微积分(经管类)

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大学普通本科 -> 经管类 -> 微积分 -> 第八章微分方程与差分方程 -> 8.9 差分方程 -> 内容要点 -> 差分方程的概念

差分方程的概念

定义1 含有未知函数的差分的方程称为差分方程.

差分方程的一般形式：

或 .

差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.

例如，二阶差分方程可化为.

又如，对于差分方程. 由，得

，，

代入原方程，得

，

因此原方程可改写为

定义2 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.

例如，对于差分方程，将代入该方程，有

，

故是该方程的解. 易见对任意常数，

都是差分方程的解.

如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解.

若解中任意常数由附加的条件确定，则称这个解为该方程的特解，确定任意常数值的附加条件称为初始条件.

定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程.

线性差分方程的一般形式是

，

其特点是都是一次的.

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