大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 11.6 高斯公式 通量与散度 -> 内容要点 -> *沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
*沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
定理2 设是空间二维单连通区域，，，在内具有一阶连续偏导数，则曲面积分
.
在内与所取曲面无关而只取决于的边界曲线（或沿内任一闭曲面的曲面积分为零）的充分必要条件是：
（在内恒成立）. （4）
证 若等式（4）在内恒成立，则由高斯公式可看出沿内的任意闭曲面的曲面积分为零，因此条件（4）是充分的.
反之，设沿内的任一闭曲面的曲面积分为零，若等式（4）在内不恒成立，仿照平面上曲线积分与路径无关的充要条件的证明方法，可得出内存在着闭曲面使得沿该闭曲面的曲面积分不等于零，这与假设相矛盾.因此条件（4）是必要的. 证毕.
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