高等数学(简明版-理工类)
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第二类曲线积分的性质
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高斯公式

定理1  设空间闭区域由分片光滑的闭曲面围成，函数、、在上具有一阶连续偏导数，则有

    （高斯公式）

这里是的整个边界曲面的外侧.

证  设有如图区域，其边界曲面由、和三部分组成，它在面上的投影区域为.根据三重积分的投影法

        
                           （1）

另一方面，根据曲面积分的计算法

   （2）

比较(1)，(2)得

.

同理可得

.

.

以上三式相加即证得高斯公式.

注：根据两类曲面积分的关系，高斯公式也可表为

.

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