大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 高等数学 -> 第十一章 曲线积分与曲面积分 -> 11.3 格林公式及其应用 -> 内容要点 -> 关于曲线积分的几个等价命题
关于曲线积分的几个等价命题
若对于区域内任意指定的两个点、，及内从到的任意两条曲线、，有
.
则称曲线积分在内与路径无关，否则称为与路径有关.
定理 设开区域是一个单连通区域，函数，在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
(1)曲线积分在内与路径无关；
(2)为某二元函数的全微分；
(3)在内恒成立；
(4)对内任意闭曲线，.
证
如图，在内任取一点，考虑从到内任一点的曲线积分
.
由于曲线积分与路径无关，故可把这个积分写成
，
并且它仅是终点坐标的函数. 记
.
下面来求. 让保持不动，从变到，则
.
因积分与路径无关，不妨取到的任一路径，而到的路径则由和到的直线构成，于是
.
又由于在上，因此
，
介于和之间. 于是
.
上面最后一个等式成立是因为是连续函数. 由于点是内任取的一点，因此有
，.
同理可证，从而
设二元函数满足
，
则 ，.
由于、的一阶偏导数连续，因此
.
设为内任一闭曲线，所围成区域为，则由格林定理，得
.
设、为内任意两点，和为内从点到点的任意两条曲线，则形成内闭曲线，从而
，
即 .
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