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第一类曲线积分的概念
定义 设为面内一条光滑曲线弧，函数在上有界.用上的点，，把分成个小段.设第个小段的长度为，又为第个小段上任意取定的一点，作乘积，并作和.如果当各小弧段的长度的最大值时，这和的极限存在，则称此极限为函数在曲线弧上第一类曲线积分，或称对弧长的曲线积分，记作，即
其中，称为被积函数，称为积分弧段.
注：1.当在光滑曲线弧上连续时，上述曲线积分总是存在；
2.根据定义，若，则显然有（的弧长）；
3.如果是闭曲线，则函数在闭曲线上的第一类曲线积分记为；
4.类似地，函数在空间曲线弧上的第一类曲线积分可定义为
.
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