逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型，下面我们借助树的增长来建立该模型.

    一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢，渐渐地，小树长高了而且长得越来越快，几年不见，绿萌底下已经可乘凉了；但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.

    如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比，则显然不符合两头尤其是后期的生长情形，因为树不可能越长越快；但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差，则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下，我们假定它的生长速度既与目前的高度，又与最大高度和目前高度之差成正比.

    设树生长的最大高度为，在(年)时的高度为，则有
                                      (1)
其中是比例常数. 这个方程称为 Logistic 方程.

    方程(1)是可分离变量的分离变量得
                      ，
得                       
或                       ，
故所求通解为
                       ，
其中是正常数.

 函数的图象称为 Logistic 曲线. 如图所示的是一条典型的 Logistic 曲线，由于它的形状，一般也称为 S 曲线. 可以看到，它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得
                               ,
这说明树的生长有一个限制，因此也称为限制性增长模式.

补充说明

    Logistic的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”，因此许多现象本质上都符合这种规律. 除了生物种群的繁殖外，还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染，在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段，可以设想它的速度既正比于得病的人数，又正比于未传染到的人数. 开始时，患病的人不多，因而传染速度较慢；但随着健康人与患者接触，受传染的人越来越多，传染的速度也越来越快；最后，传染速度自然而然地渐渐降低，因为已经没有多少人可被传染了.

应用举例

人口阻滞增长模型  1837年，荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型
                           ，
其中称为生命系数.

我们不详细讨论这个模型，只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.

有生态学家估计的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据，计算得，从而估计得：

(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿.

(2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.

后一个数字很接近2000年时的实际人口数，世界人口在1999年刚进入60亿.