罗尔定理
罗尔是法国数学家，其在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。
罗尔(Rolle)定理 若函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即，则在内至少有一点，使.
证法一 ∵在连续，必存在最大值和最小值。
（1）若，则.故，都有.
（2）若，∵，∴最值不可能同时在端点取得.
不妨设，则在内至少存在一点使.
∴，有，故由费马引理知.证毕.
证法二 由于在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在上必有最大值和最小值.现分两种可能来讨论.
若，则对任一都有，这时对任意的都有.
若，由条件（3）知，和中至少有一个不等于，不妨设，则在开区间内至少有一点，使得.下面来证明.
由条件（2）知，存在.由于为最大值，所以不论为正或为负，只要，总有，因此，当，有
，
根据函数极限的保号性知
，
同样，当时，有，所以
.
因此,故.
其几何意义如下：
在曲线弧上至少有一点，在该点处的切线是水平的.
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