一、函数的增量
    设函数在内有定义，，
，称为自变量相对于点的增量.
，称为函数相应于的增量.
二、函数连续的定义
    定义1  设函数在内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，对应的函数的增量也趋向于零，即

或，

那么就称函数在点处连续，称为的连续点.
    定义2  设函数在内有定义，如果当时的极限存在，且等于它在点处的函数值，即

                      ，

那么就称函数在点处连续.
    定义3  设函数在内有定义，若，，使当时，恒有

                       ，

那么就称函数在点处连续.

三、左连续与右连续

  ⑴左连续：若函数在内有定义，且
                       ，
则称在点处左连续；
  ⑵右连续：若函数在内有定义，且
                        ，
则称在点处右连续.
  ⑶函数在点连续的充分条件： 函数在处连续的充要条件是函数在处既左连续又右连续.

四、连续函数与连续区间

    在区间内每一点都连续的函数，叫做在该区间内的连续函数，或者说函数在该区间内连续.
    如果函数在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数在闭区间上连续.
    连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

五、函数的间断点

  ⑴函数间断点的定义：如果函数在的某一个开心邻域内有定义，且在点处不连续，则称在点处间断，称点为的间断点.

 ⑵间断点的分类

   ①第一类间断点： 设点为的间断点. 但左极限及右极限都存在，则称为的第一类间断点.
    当时，称为的跳跃间断点.
    当或在点处无定义，则称点为的可去间断点.

  ②第二类间断点  如果在点处的左、右极限至少有一个不存在，则称点为函数的第二类间断点.