一、自变量趋向无穷大时函数的极限定义

    设函数当大于某一正数时有定义. 如果对任意给定的正数(不论它多么小)，总存在着正数，使得对于满足不等式的一切，恒有
                   ，
那么常数就叫函数当时的极限，记作
                  或(当).   

二、自变量趋向有限值时函数的极限定义

   设函数在点的某一去心邻域内有定义. 若对任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正数，使当时，函数都满足不等式
                   ，
则常数就称为函数当时的极限. 记作
                  或(当).

三、左、右极限的定义 

  ⑴ 左极限的定义：，，使当时，恒有. 记作

                 或.
  ⑵右极限的定义：  ，，使当时，恒有. 记作

                 或.

四、极限与左右极限的关系

                ；

                  .

五、函数极限的性质

 ⑴唯一性： 若存在，则极限唯一.
 ⑵有界性： 若，则存在常数和，使得当时，有
                    .
 ⑶保号性： 若，且()，则，使得当时，有
                    (或).


 ⑷保号性推论： 若，且在的某去心邻域内(或)，则(或).

六、子序列收敛性

 ⑴子序列的定义

   设在过程(可以是，或)中有数列，使得时，则称数列为函数当时的子序列.
 ⑵子序列收敛性

   若，数列是当时的一个子序列，则有
                              .

 ⑶函数极限存在的充要条件

   函数极限存在的充要条件是它的任何子序列的极限都存在且相等.

七、函数极限与数列极限的关系

  如，则对任何趋向于的数列，且都有，当时，命题也成立.