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重要极限二
观察 我们可以通过计算的函数值(见下表)来观察其变化趋势.
| 10 | 50 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 | ||
| 2.593742 | 2.691588 | 2.704814 | 2.716924 | 2.718146 | 2.718268 | 2.718280 | ||
| -10 | -50 | -100 | -1000 | -10000 | -100000 | -1000000 | ||
| 2.867972 | 2.745973 | 2.731999 | 2.719642 | 2.718418 | 2.718295 | 2.718283 |
从上表可见，随着自变量的增大而增大，但增大的速度越来越慢，且逐步接近一个常数.
1.先考虑取正整数且的情形. 设，则有
又
，
显然，是单调递增的；再由
，
是有界的. 故存在. 记为
.
单调增加且有界.
2.再考虑为实数的情形.
(1)当时，有，
而 .
.
.
(2)令，则
.
从而 .
如果令，则有
.
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