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高等数学(简明版-理工类)

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子数列的收敛性

定义在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列(或子列).
注：是中的第项，是原数列中第项，.
定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是.
证设数列是数列的任一子数列. 由，故，正整数，当时，恒有，取，则当时，. 于是，即. 证毕.
注：定理4的逆否命题知，若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则数列是发散的.
例如，考察数列其子数列收敛于1，而子数列收敛于，因此数列是发散的.
此例说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列.

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