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线性代数(简明版-理工类)

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矩阵的相似

一、相似矩阵的概念

    定义设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使
                               ，
则称是的相似矩阵，并称矩阵与相似.
    对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵.

二、相似矩阵的性质

性质1 若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同.

性质2 相似矩阵的秩相等；

性质3 相似矩阵的行列式相等；

性质4 相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似.

    性质5 若，是与的某个特征值，若是的关于的特征向量，则是的关于的特征向量.

三、矩阵与对角矩阵相似的条件
    定理阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵有个线性无关的特征向量.
    推论若阶矩阵有个互异的特征值，则与对角矩阵相似.

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