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线性代数(简明版-理工类)

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大学普通本科 -> 简明版-理工类 -> 线性代数 -> 第四章矩阵的特征值与特征向量 -> 4.1 向量的内积 -> 内容要点 -> 正交向量组

正交向量组

定义3 若两向量与的内积等于零，即

，

则称向量与相互正交，记作.

例如，零向量与任意向量正交，因零向量与任意向量的内积等于零.

下面的图示给出了关于正交向量的一些重要事实.

与相互垂直当且仅当勾股定理：与相互垂直当且仅当

定义4 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.

例如，中初始单位向量是两两正交的，

注：一正交向量组，若其中每个向量都是单位向量，则称该向量组为规范正交向量组.

定理若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关.

证设有使，

按内积的定义，以左乘上式两端得

从而线性无关. 证毕.

注：中任一正交向量组的向量个数不会超过.

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