线性方程组解的判定定理
定理1 设，元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩.
证明 必要性 设方程组有非零解. 设，则在中应有一个阶非零子式. 根据克莱姆法则，所对应的个方程只有零解，与假设矛盾，故.
充分性 设，则的行阶梯形矩阵只含有个非零行，从而知其有个自由未知量. 任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0，即可得到方程组的一个非零解. 证毕.
定理2 设，元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即.
证明 必要性 设方程组有解，但. 则的行阶梯形矩阵中最后一个非零行是矛盾方程，这与方程组有解相矛盾，因此.
充分性 设，则的行阶梯形矩阵中含有个非零行，把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量，其余个作为自由未知量，并令这个自由未知量全为零，即可得到方程组的一个解. 证毕.
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