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二次型
一、二次型的概念
定义 含有个变量的二次齐次函数
称为二次型. 当是复数时，称为复二次型；当是实数时，称为实二次型.
二、二次型的矩阵
取，则，于是
，
其中为对称矩阵，称它为二次型的矩阵；对称矩阵的秩叫做二次型的秩.
注：一个二次型与一个对称矩阵之间一一对应.
三、二次型的线性变换
定义 关系式称为由变量到的一个线性变换. 矩阵称为线性变换矩阵，当可逆时，称该线性变换为可逆线性变换. 线性变换按矩阵形式可记为.
对于一般二次型，经可逆的线性变换可将其化为
.
其中为关于的二次型，对应的矩阵为.
四、合同矩阵
定义 设为两个阶矩阵，如果存在阶非奇异矩阵，使得，则称矩阵合同于矩阵，或与合同.
合同矩阵的性质：
(1)自反性 对任意方阵,合同与.
(2)对称性 若合同于，则合同于.
(3)传递性 若合同于，合同于，则合同于.
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