大学普通本科 -> 经管类 -> 线性代数 -> 第五章 二次型 -> 5.2 化二次型为标准形 -> 内容要点 -> 二次型与对称矩阵的规范形
二次型与对称矩阵的规范形
将二次型化为平方项的代数和形式后，如有必要可重新安排变量的次序（相当于作一次可逆线性变换），使这个标准形为
(1)
其中.
例如，对二次型，令，其矩阵为是非奇异的，可将所给二次型化为.
我们常对标准形各项的符号感兴趣，用如下可逆线性变换
化二次型(1)为.
这种形式的二次型叫做二次型的规范形，因此有下面定理：
定理5 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身决定的唯一形式，与所作的可逆线性变换无关（后一论断证明略）.
把规范形中的个数称为二次型的正惯性指数，负项个数称为二次型的负惯性指数，是二次型的秩.
注：任何合同的对称矩阵具有相同的规范形.
定理6 设为任意对称矩阵，如果
及
，则(证明略).
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