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线性代数(经管类)

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大学普通本科 -> 经管类 -> 线性代数 -> 第五章二次型 -> 5.2 化二次型为标准形 -> 内容要点 -> 用配方法化二次型为标准形

用配方法化二次型为标准形

例如，用配方法将中的二次型化为标准形.

，

其中，.

对一般的二次型，利用拉格朗日配方法可证得下列结论.

定理1 任意二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.

拉格朗日配方法的步骤如下：

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量重复上述过程直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形；

2.若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换

化二次型为含有平方项的二次型，然后再按中方法配方.

注意到二次型与对称矩阵的对应关系，由定理可得：

定理对任一实对称矩阵，存在可逆矩阵，使为对角矩阵. 即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.

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