大学普通本科 -> 经管类 -> 概率论与数理统计 -> 第四章 随机变量的数字特征 -> 4.3 协方差与相关系数 -> 内容要点 -> 相关系数的性质
相关系数的性质
性质1 ;
证 由方差的新性质和协方差的定义知，对任意实数，有
,
令，则
，
由于方差是正的，故必有，所以.
性质2 若和相互独立，则;
注意到此时，易见结论成立.
注：与相互独立与不相关(参见例3-4).
性质3 若，则
存在常数，使.
而且当时，, 当时，.
证明 必要性 当时
.
由方差的性质可知：存在常数使，即
.
令，，则有
.
当时，；当时，.
充分性 若，于是
.
注：相关系数刻画了和间“线性相关”的程度.
的值越接近于1，与的线性相关程度越高；
的值越接近于0，与的线性相关程度越弱；
=1时，与有严格线性关系；
时，与无线性关系；
这里注意：当时，只说明与没有线性关系.并不能说明与之间没有其它函数关系.从而不能推出与独立.
性质4 设，称其为用来近似的均方误差，则有下列结论：
若，则
，
使均方差达到最小.
证
.
由，
解之得唯一解：
,.
注：我们可用均方误差来衡量以近似表示的好坏程度，值越小表示与的近似度越好，且知最佳的线性近似为，而其余均方误差. 从这个侧面也能说明越接近1，越小. 反之，越近于0，就越大，与的线性相关性越小.
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